Задание 19
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру.
Перед игроками лежат две кучи камней.
Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя.
За один ход игрок может:
- убрать из одной из куч (по своему выбору) 3 камня;
- уменьшить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30).
Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (17, 30), (20, 27), (6, 30), (20, 10).
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более 53.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 53 камня или меньше.
В начальный момент в первой куче было 19 камней, во второй куче — S камней; S ≥ 35.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.
Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.
Задание 20
Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
- Петя не может выиграть за один ход;
- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21
Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Решение 1. Анализ через f(a, b, m)
🔹 Шаг 1. Создаем рекурсивную функцию
def f(a, b, m):
📌 Функция определяет, может ли текущий игрок гарантированно победить за m ходов.
🔹 Шаг 2. Проверяем окончание игры
if a + b <= 53 or m < 0:
📌 Если сумма камней уже не больше 53 или ходы закончились, рекурсия завершается.
🔹 Шаг 3. Возвращаем результат
return m % 2 == 0
📌 Чётность m показывает, чей ход оказался победным.
🔹 Шаг 4. Перебираем все возможные ходы
h = f(a - 3, b, m - 1), f(a // 3, b, m - 1), f(a, b - 3, m - 1), f(a, b // 3, m - 1)
📌 Четыре действия: −3 или // 3 для первой или второй кучи.
🔹 Шаг 5. Выбираем any
return any(h)
📌 Для задания 19 с «неудачного» хода Пети достаточно any.
✅ Задание 19
📌 Найти минимальное S, при котором после неудачного хода Пети Ваня выигрывает своим первым ходом.
print(19, [s for s in range(35, 1001) if f(19, s, 2)])
📌 Проверяем f(19, S, 2). Минимальное значение: 38.
🔹 Для заданий 20 и 21 меняем any на any/all
return any(h) if (m - 1) % 2 == 0 else all(h)
📌 На своём ходу — any, на ходе соперника — all.
✅ Задание 20
📌 Найти наименьшее и наибольшее S, когда Петя не выигрывает сразу, но гарантированно выигрывает своим вторым ходом.
ans = [s for s in range(35, 1001) if not f(19, s, 1) and f(19, s, 3)]
print(min(ans), max(ans))
📌 Наименьшее и наибольшее: 108 и 323.
✅ Задание 21
📌 Найти минимальное S, когда Ваня выигрывает первым или вторым ходом, но не имеет гарантированной победы первым ходом.
print([s for s in range(35, 1001) if not f(19, s, 2) and f(19, s, 4)])
📌 Ответ: 111.
Подсказки по заданию №20, без готовых формул. Enter — отправить · 🎤 — голос