Задание 19
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру.
Перед игроками лежат две кучи камней.
Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя.
За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза.
Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 65.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 65 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было шесть камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 58.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.
Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.
Задание 20
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе укажите наименьшее из них.
Решение 1. Анализ через f(a, b, m)
🔹 Шаг 1. Создаем рекурсивную функцию
def f(a, b, m):
📌 Функция определяет, может ли текущий игрок гарантированно победить, если до окончания анализа осталось m ходов.
🔹 Шаг 2. Проверяем окончание игры
if a + b >= 65 or m < 0:
📌 Если сумма камней уже достигла 65 или количество оставщихся ходов закончилось, рекурсия завершается.
🔹 Шаг 3. Возвращаем результат
return m % 2 == 0
📌 Если игра закончилась на нужной глубине рекурсии, возвращается True, иначе False. Чётность m показывает, чей ход оказался победным.
🔹 Шаг 4. Перебираем все возможные ходы
h = f(a + 1, b, m - 1), f(a * 3, b, m - 1), f(a, b + 1, m - 1), f(a, b * 3, m - 1)
📌 Из каждой позиции можно выполнить четыре действия: +1 или ×3 для первой или второй кучи.
🔹 Шаг 5. Выбираем any
return any(h)
📌 Для задания 19 с «неудачного» хода Пети достаточно существования хотя бы одного выигрышного хода (any).
✅ Задание 19
📌 Найти минимальное S, при котором после неудачного первого хода Пети Ваня выигрывает своим первым ходом.
print(19, [s for s in range(1, 59) if f(6, s, 2)])
📌 Перебираем все значения S от 1 до 58 и проверяем позиции глубиной 2 хода (f(6, S, 2)). Из найденных значений выбираем минимальное: 7.
🔹 Для заданий 20 и 21 меняем any на any/all
return any(h) if (m - 1) % 2 == 0 else all(h)
📌 На своём ходу достаточно одного выигрышного варианта (any), на ходе соперника победа должна сохраняться после любого ответа (all).
✅ Задание 20
📌 Найти два минимальных S, когда Петя не выигрывает сразу, но гарантированно выигрывает своим вторым ходом.
print([s for s in range(1, 59) if not f(6, s, 1) and f(6, s, 3)])
📌 not f(6, S, 1) — победить первым ходом нельзя; f(6, S, 3) — существует стратегия выигрыша вторым ходом. Берём два первых найденных значения: 10 и 19.
✅ Задание 21
📌 Найти минимальное S, когда Ваня выигрывает первым или вторым ходом, но не имеет гарантированной победы первым ходом.
print([s for s in range(1, 59) if not f(6, s, 2) and f(6, s, 4)])
📌 not f(6, S, 2) — Ваня не может гарантированно выиграть первым ходом; f(6, S, 4) — Ваня гарантированно выигрывает первым или вторым ходом. Ответ: 18.
Подсказки по заданию №20, без готовых формул. Enter — отправить · 🎤 — голос