Задание 16

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(n) = 1 при n = 1;
F(n) = (n − 1) × F(n − 1), если n > 1.

Чему равно значение выражения (3 × F(32 028) − F(32 027)) / F(32 026)?

Решение на Python:

🔹 Шаг 1. Подключение кэширования

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)

📌 Результат: подключается декоратор lru_cache, который запоминает уже вычисленные значения функции. Это нужно, чтобы не считать одно и то же много раз — иначе программа работала бы очень медленно.

🔹 Шаг 2. Описание функции F(n)

def f(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n > 1:
        return (n - 1) * f(n - 1)
    return (n - 1) * f(n - 1)

📌 Результат: функция F(n) реализует условия задачи.

если n = 1, возвращается 1
если n > 1, возвращается (n - 1) * F(n - 1)

Это рекурсивная функция, если она обращается к себе или к другой функции.

🔹 Шаг 3. Предварительный вызов функций

for i in range(1, 32029):
    f(i)

📌 Результат: функции вызываются для значений от 1 до 32028. Все значения заранее вычисляются и сохраняются в кэше — дальнейшие обращения будут мгновенными.

🔹 Шаг 4. Вычисление числителя выражения

3 * f(32028) - f(32027)

📌 Результат: вычисляется промежуточное выражение 3 * F(32028) - F(32027) (числитель или часть формулы). Используется // — целочисленное деление.

🔹 Шаг 5. Деление на знаменатель и вывод результата

print(( 3 * f(32028) - f(32027) ) // f(32026))

📌 Результат: итоговое значение выражения ( 3 * F(32028) - F(32027) ) // F(32026) выводится на экран — ответ задачи: 3077058080.