Задание 5

На вход алгоритма подаётся натуральное число N.

Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

Строится двоичная запись числа N.
Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
а) если число N чётное, то к этой записи справа и слева дописываются по две единицы;
б) если число N нечётное, то в конец двоичной записи (справа) дописываются два нуля, а в начало (слева) дописывается единица.
Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Например, для исходного числа 13₁₀ = 1101₂ результатом является число 1110100₂ = 126₁₀, а для исходного числа 6₁₀ = 110₂ — число 1111011₂ = 123₁₀.

Укажите наибольшее число R, не превышающее 113, которое может быть результатом работы данного алгоритма.

В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Решение

🔹 Шаг 1. Перебор чисел и двоичная запись

for N in range(1, 20):
    s = f'{N:b}'
    print(N, '→', s)

📌 Результат: 1 → 1, 2 → 10, 3 → 11, 19 → 10011 и т.д.

🔹 Шаг 2. Проверка чётности числа единиц

for N in range(1, 20):
    s = f'{N:b}'
    if s.count('1') % 2 == 0:
        print(N, s, 'чётное число единиц')
    else:
        print(N, s, 'нечётное число единиц')

📌 Результат: 1 1 нечётное число единиц, 2 10 нечётное число единиц, 3 11 чётное число единиц, 19 10011 нечётное число единиц и т.д.

🔹 Шаг 3. Изменение двоичной строки

for N in range(1, 20):
    s = f'{N:b}'

    if s.count('1') % 2 == 0:
        s_new = '10' + s[2:] + '0'
        print(N, s, '→', s_new, '(заменили 2 старших разряда на 10, дописали 0)')
    else:
        s_new = '11' + s[2:] + '1'
        print(N, s, '→', s_new, '(заменили 2 старших разряда на 11, дописали 1)')

📌 Результат: 1 1 → 111 (заменили 2 старших разряда на 11, дописали 1), 2 10 → 111 (заменили 2 старших разряда на 11, дописали 1), 3 11 → 100 (заменили 2 старших разряда на 10, дописали 0), 19 10011 → 110111 (заменили 2 старших разряда на 11, дописали 1) и т.д.

🔹 Шаг 4. Перевод обратно в десятичное число

for N in range(1, 20):
    s = f'{N:b}'

    if s.count('1') % 2 == 0:
        s = '10' + s[2:] + '0'
    else:
        s = '11' + s[2:] + '1'

    R = int(s, 2)
    print(N, '→', s, '→', R)

📌 Результат: 1 → 111 → 7, 2 → 111 → 7, 3 → 100 → 4, 19 → 110111 → 55 и т.д.

🔹 Шаг 5. Сборка полной программы и получение ответа

Цель: собрать всё вместе и понять задачу целиком.

best_R = 0

for N in range(1, 10000):
    s = f'{N:b}'
    if s.count('1') % 2 == 0:
        s = '10' + s[2:] + '0'
    else:
        s = '11' + s[2:] + '1'
    R = int(s, 2)
    if R <= 113 and R > best_R:
        best_R = R

print(best_R)

📌 Результат: итоговый ответ программы.

Ответ: 108.